Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，則a₄等于（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到a_n，則a₄可求．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n+1}{2}$，則${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
∴${a}_{4}=\frac{2}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．