Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx-φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在x=

π

3

處取得最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)α∈（0，

π

2

），則f（

α

2

）=2，求α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx-φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在x=

π

3

處取得最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．進(jìn)一步求出A、ω、φ的值，從而確定函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）所得的解析式和函數(shù)的定義域，確定a的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為3，
∴A+1=3，即A=2----（2分）
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，
∴最小正周期為T=π
∴ω=2
又∵f（x）過點(diǎn)（

π

3

，3）
∴2sin（

2π

3

-φ）+1=3
即

2π

3

-φ=

π

2

+2kπ  （k∈Z）
解得φ=

π

6

+2kπ （k∈Z）
又∵|φ|＜π
∴φ=

π

6

函數(shù)f（x）的解析式為：y=2sin（2x-

π

6

）+1
（2）∵f（

a

2

）=2sin（2x-

π

6

）+1=2
即sin（a-

π

6

）=

1

2

∵0＜a＜

π

2

∴-

π

6

＜a-

π

6

＜

π

3

∴α-

π

6

=

π

6

即a=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，以及函數(shù)在某一定義域內(nèi)的函數(shù)值確定參數(shù)的取值，是高考的常見題型．