Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²和g（x）=4-x，
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式|f′（x）|+|g（x）|＞6；
（Ⅱ）求由曲線y=f（x）和y=g（x）圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），根據(jù)絕對(duì)值的意義分類討論將絕對(duì)值去掉，求出不等式組的解集．
（II）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)，求出它們的交點(diǎn)，將去邊圖形的面積用定積分表示，利用微積分基本定理求出面積．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x，
∴要解的不等式可化為|x|+|x-4|＞6，
∴

x≥4 x+x-4＞6

或

0≤x＜4 x+4-x＞6

或

x＜0 -x+4-x＞6

，
∴x＞5或x＜-1，
∴不等式的解集為（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（Ⅱ）由

y= 1 2 x2 y=4-x

消去y得：x²+2x-8=0解得x₁=2和x₂=-4
∴所求圖形的面積S=

∫

2 -4

[(4-x)-

1

2

x2]dx=(4x-

1

2

x2-

1

6

x3)

|

2 -4

=18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解絕對(duì)值不等式常利用絕對(duì)值的意義分段討論將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式、考查利用定積分求曲邊圖形的面積．