Question

小張經(jīng)營(yíng)某一消費(fèi)品專(zhuān)賣(mài)店，已知該消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元，該店每月銷(xiāo)售量y（百件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系用如圖的一折線(xiàn)表示，職工每人每月工資為1000元，該店還應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月10000元．
（1）把y表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每件50元時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；
（3）若該店只有20名職工，問(wèn)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，該專(zhuān)賣(mài)店月利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)=收入-支出）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接分段寫(xiě)出兩個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)出該店擁有職工的人數(shù)，求出當(dāng)x=50時(shí)該店的總收入，由收支平衡列式得答案；
（3）分段寫(xiě)出該店只有20名職工的月利潤(rùn)：S=

(-2x+140)(x-40)×100-30000，(40≤x≤60) (- 1 2 x+50)(x-40)×100-30000，(60＜x≤80)

，然后分段求出最值得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)40≤x≤60時(shí)，由兩點(diǎn)式得AB：

y-60

20-60

=

x-40

60-40

，
即y=-20x+140；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，由兩點(diǎn)式得BC：

y-20

10-20

=

x-60

80-60

，
即y=-

1

2

x+50；
∴y=

-2x+140，(40≤x≤60) - 1 2 x+50，(60＜x≤80)

；
（2）設(shè)該店擁有職工m名，當(dāng)x=50時(shí)，該店的總收入為
y（x-40）×100=100（-2x+140）（x-40）=40000元．
又該店的總支出為1000m+10000元，
依題意得40000=1000m+10000，解得：m=30．
∴此時(shí)該店有職工30名；
（3）若該店只有20名職工，則月利潤(rùn)：
S=

(-2x+140)(x-40)×100-30000，(40≤x≤60) (- 1 2 x+50)(x-40)×100-30000，(60＜x≤80)

．
當(dāng)40≤x≤60時(shí)，S=-2（x-55）²+15000，
∴x=55時(shí)，S取最大值15000元；
當(dāng)60＜x≤80時(shí)，S=-

1

2

(x-70)2+15000，
∴x=70時(shí)，S取最大值15000元；
故當(dāng)x=55或x=70時(shí)，S取最大值15000元，
即銷(xiāo)售單價(jià)定為55或70元時(shí)，該專(zhuān)賣(mài)店月利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了分段函數(shù)最值的求法，是中檔題．