已知函數(shù)f(x)=ax2+xlnx,(a∈R)
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的最小值;
(2)在區(qū)間(1,2)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p,q(p≠q),若不等式
f(p+1)-f(q+1)
p-q
>1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:
ln2
23
+
ln3
33
+
ln
43
+…+
lnn
n3
1
e
(其中n>1,n∈N*,e=2.71828…).
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式,然后直接利用導(dǎo)數(shù)求最小值;
(2)把
f(p+1)-f(q+1)
p-q
化為
f(p+1)-f(q+1)
(p+1)-(q+1)
,表示點(diǎn)(p+1,f(p+1))與點(diǎn)(q+1,f(q+1))連線的斜率,即函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1,即f′(x)=2ax+lnx+1>1在x∈(2,3)內(nèi)恒成立.然后利用分離變量法結(jié)合導(dǎo)數(shù)得答案;
(3)由(2)得,-
lnx
x
≥g(e)
,即得到
lnx
x3
1
e
1
x2
,然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,放縮后得答案.
解答: (1)解:∵a=0時(shí),f(x)=xlnx(x>0),
由f′(x)=1+lnx>0,得x>
1
e
,
∴f(x)在(0,
1
e
)
上遞減,在(
1
e
,+∞)
上遞增.
f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
;
(2)解:
f(p+1)-f(q+1)
p-q
=
f(p+1)-f(q+1)
(p+1)-(q+1)
,
表示點(diǎn)(p+1,f(p+1))與點(diǎn)(q+1,f(q+1))連線的斜率,又1<p<2,1<q<2,
∴2<p+1<3,2<q+1<3,即函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1,
即f′(x)=2ax+lnx+1>1在x∈(2,3)內(nèi)恒成立.
∴當(dāng)x∈(2,3)時(shí),2a≥-
lnx
x
恒成立.
2a≥(-
lnx
x
)max

設(shè)g(x)=-
lnx
x
,x∈(2,3)
,
g(x)=
lnx-1
x2

若g′(x)=0,則x=e.
當(dāng)2<x<e時(shí),g′(x)<0,g(x)在(2,e)上單調(diào)遞減;當(dāng)e<x<3時(shí),g′(x)>0,g(x)在(e,3)上單調(diào)遞增.
g(2)=-
ln2
2
>g(3)=-
ln3
3
,
2a≥-
ln2
2

a≥-
ln2
4

(3)由(2)得,-
lnx
x
≥g(e)
,
lnx
x
1
e
,
lnx
x3
1
e
1
x2
,
ln2
23
+
ln3
33
+…+
lnn
n3
1
e
(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)
,
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)n
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)
=1-
1
n
<1
,
ln2
23
+
ln3
33
+
ln
43
+…+
lnn
n3
1
e
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)恒成立問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,是壓軸題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

小張經(jīng)營某一消費(fèi)品專賣店,已知該消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元,該店每月銷售量y(百件)與銷售單價(jià)x(元/件)之間的關(guān)系用如圖的一折線表示,職工每人每月工資為1000元,該店還應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月10000元.
(1)把y表示為x的函數(shù);
(2)當(dāng)銷售價(jià)為每件50元時(shí),該店正好收支平衡,求該店的職工人數(shù);
(3)若該店只有20名職工,問銷售單價(jià)定為多少元時(shí),該專賣店月利潤最大?(利潤=收入-支出)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)(x∈R)是偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2時(shí)都成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( 。
A、
2
2
3
B、
4
3
C、
4
2
3
D、4
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是( 。
A、若m∥α,n∥α,則m∥n
B、若m∥n,m⊥α,n?β,則α⊥β
C、若m∥α,m∥β,則α∥β
D、若m∥α,α⊥β,則m⊥β

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),已知x≥0時(shí),f(x)=x2-2x.
(1)畫出偶函數(shù)f(x)的圖象的草圖,并求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)直線y=k(k∈R)與函數(shù)y=f(x)恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某市為了解全市居民日常用水量的分布情況,現(xiàn)采用抽樣調(diào)查的方式,獲得了n位居民某年的月均用水量(單位:t),樣本統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表:
(Ⅰ)分別求出x,n,y的值;
(Ⅱ)若從樣本中月均用水量在[5,6]內(nèi)的5位居民a,b,c,d,e中任選2人作進(jìn)一步的調(diào)查研究,求居民a被選中的概率.
分組頻數(shù)頻率
[0,1)25y
[1,2)0.19
[2,3)50x
[3,4)0.23
[4,5)0.18
[5,6]5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若(2a-c)
AB
BC
=c
BC
CA

(Ⅰ)求∠B的大;
(Ⅱ)若f(x)=2sin2x•cos
B
2
+2cos2x•sin
B
2
,x∈[-
12
,
π
12
],求f(x)的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線x+2y-2=0與2x+a y-2a=0垂直,則a的值是
 

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同步練習(xí)冊(cè)答案