Question

數(shù)列{a_n}中，已知，，且，，…，a_n+1-是公比為的等比數(shù)列．
（1）求證數(shù)列，，…，是公比為的等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）問是否存在除，以外的實數(shù)k，使得數(shù)列{a_n+1-ka_n}成等比數(shù)列．

Answer 1

解：（1）由題意可得：因為，，
所以，
又因為，，…，a_n+1-是公比為的等比數(shù)列，
所以
所以
=，
所以數(shù)列，，…，是公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得：，又因為，
所以兩式相減得，
所以，
所以．
（3）假設存在這樣的k，k≠
則有
所以，
即 解得：，
所以不存在除，以外的實數(shù)k使得數(shù)列{a_n+1-ka_n}成等比數(shù)列．
分析：（1）由題意可得：因為，，所以，根據(jù)題意可得：，進而達到=，即可證明結(jié)論．
（2）由（1）可得：，所以．
（3）假設存在這樣的k，k≠，可得，令a_n+2-ka_n+1=qa_n+1-qka_n，即解得：，進而達到答案．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的判定，此題屬于難題．