Question

8．已知$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+a}}（{a＞0}）$的兩個極值點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），則ax₂取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． $（{1，\frac{32}{27}}]$
• D． $（{0，\frac{32}{27}}]$

Answer 1

分析 求得由題意可知方程x²-2x+a=0由兩個不等實根，則0＜a＜1，求得x₁，x₂，即可求得ax₂，構(gòu)造輔助函數(shù)，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得ax₂取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+a}$，求導f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+a）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，
∵f（x）=的兩個極值點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴方程x²-2x+a=0由兩個不等實根，△=4-4a＞0，
∴0＜a＜1，
解得：x₁=1-$\sqrt{1-a}$，x₂=1+$\sqrt{1-a}$，
ax₂=a（1+$\sqrt{1-a}$），設(shè)g（a）=a（1+$\sqrt{1-a}$），令t=$\sqrt{1-a}$，0＜t＜1，則a=1-t²，
則g（t）=（1-t²）（1+t）=-t³-t²+t+1，g′（t）=-3t²-2t+1
令g′（t）=0，解得：t=-1（舍）t=$\frac{1}{3}$，
當t∈（0，$\frac{1}{3}$），g′（x）＞0，當t∈（$\frac{1}{3}$，1），g′（x）＜0，
∴g（t）在（0，$\frac{1}{3}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）單調(diào)遞減，
∴當t=$\frac{1}{3}$時，g（t）取最大值，最大值為g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{32}{27}$，
當t=1時，取最小值g（1）=0，
∴ax₂的取值范圍（0，$\frac{32}{27}$]，
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)的極值的概念及存在的充要條件、函數(shù)與方程思想，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．