Question

7．霧霾影響人們的身體健康，越來越多的人開始關(guān)心如何少產(chǎn)生霧霾，春節(jié)前夕，某市健康協(xié)會為了了解公眾對“適當(dāng)甚至不燃放煙花爆竹”的態(tài)度，隨機(jī)采訪了50人，將凋查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5
贊成人數(shù)	4	6	12	7	3	3

（1）以贊同人數(shù)的頻率為概率，若再隨機(jī)采訪3人，求至少有1人持贊同態(tài)度的概率；
（2）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊同“適當(dāng)甚至不燃放煙花爆竹”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出贊同人數(shù)的概率，由此能求出至少有1人持贊同態(tài)度的概率．
（2）依題意得X=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（1）隨機(jī)采訪的50人中，贊成人數(shù)有：4+6+12+7+3+3=35人，
∵以贊同人數(shù)的頻率為概率，∴贊同人數(shù)的概率p₁=$\frac{35}{50}$=$\frac{7}{10}$，
∴至少有1人持贊同態(tài)度的概率p=1-（1-$\frac{7}{10}$）³=0.973．
（2）從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，
記選中的4人中不贊同“適當(dāng)甚至不燃放煙花爆竹”的人數(shù)為X，
依題意得X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{15}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

∴X的數(shù)學(xué)期望EX=$0×\frac{15}{75}+1×\frac{34}{75}+2×\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．