Question

F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2=

2π

3

，則它的離心率的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  1

  2

  )
• B．[

  1

  2

  ，1)
• C．(0，

  3

  2

  ]
• D．[

  3

  2

  ，1)

Answer 1

分析：依題意，不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，由∠F₁AO≥

π

3

即可求得它的離心率的取值范圍．

解答：解：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，
∵橢圓上存在一點(diǎn)P，∠F₁PF₂=

2π

3

，
∴∠F₁AO≥

π

3

，
∴tan∠F₁AO=

c

b

≥

3

，
∴

b

c

≤

1

3

?

b2

c2

=

a2-c2

c2

≤

1

3

，
∴

c2

a2

≥

3

4

，
∴e=

c

a

≥

3

2

，又e＜1．
∴

3

2

≤e＜1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得∠F₁AO≥

π

3

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與邏輯思維能力，屬于難題．