Question

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2- 2 t y=-1+ 2 t

（t為參數(shù)）；以原點O為極點，以x軸正半軸為極值，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=

2

1+3sin2θ

．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（2）試判斷曲線C₁與C₂是否存在兩個交點，若存在，求出兩交點間的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）直接把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程和把橢圓極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程．
（2）利用直線的參數(shù)式與橢圓的方程建立方程，利用判別式求出有交點，進一步利用根和系數(shù)的關系求出交點間的距離．

解答： 解：（1）對于曲線曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2- 2 t y=-1+ 2 t

（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：x+y=1，
對于曲線C₂的極坐標方程ρ=

2

1+3sin2θ

轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）顯然曲線C₁：x+y=1為直線，則其參數(shù)方程可寫為

x=2- 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t為參數(shù)）
與曲線C₂：

x2

4

+y2=1聯(lián)立，可得到方程：

5

2

t2-6

2

t+4=0．
可知△＞0，所以C₁與C₂存在兩個交點，
由根和系數(shù)的關系得到：t1+t2=

12 2

5

，t1t2=

8

5

，
則：d=|t2-t1|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

8 2

5

．

點評：本題考查的知識要點：直線的參數(shù)方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的恒等變換，直線與曲線的交點弦問題．屬于基礎題型．