Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的焦點(diǎn)，P在橢圓上，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，則點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．可得m+n=2a=6，（2×2）²=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，可得：mn=$\frac{20}{3}$，再利用${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}P}$=$\frac{1}{2}×2c•|{y}_{P}|$=$\frac{1}{2}$mnsin$\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$可得：a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=2a=6，（2×2）²=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，
可得：mn=$\frac{20}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}P}$=$\frac{1}{2}×2c•|{y}_{P}|$=$\frac{1}{2}$mnsin$\frac{π}{3}$，
∴2×2|y_P|=$\frac{20}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得|y_P|=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．