Question

6．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$[$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）]．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）說(shuō)明f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意得$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）＞0$，即$sin（x-\frac{π}{4}）＞0$，
所以$2kπ＜x-\frac{π}{4}＜2kπ+π$，
所以$2kπ+\frac{π}{4}＜x＜2kπ+\frac{5π}{4}$
因此f（x）的定義域?yàn)?（2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）$…（2分）
又因?yàn)?0＜sin（x-\frac{π}{4}）≤1$，所以$0＜\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，…（3分）
再考察$y={log_{\frac{1}{2}}}t（0＜t≤\sqrt{2}）$的圖象，可知$y≥-\frac{1}{2}$，
所以f（x）的值域?yàn)?[-\frac{1}{2}，+∞）$…（5分）
（2）由（1）知f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f（x）是非奇非偶函數(shù)．…（8分）
（3）由題意可知$2kπ+\frac{π}{2}＜x-\frac{π}{4}＜2kπ+π$…（10分）
即$2kπ+\frac{3π}{4}＜x＜2kπ+\frac{5π}{4}$，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性的求解和判斷，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．