Question

1．將一個(gè)周長為18的矩形ABCD，以一邊長為側(cè)棱，折成一個(gè)正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直），當(dāng)這個(gè)正三棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的體積為$\frac{43}{54}\sqrt{129}$π．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面邊長為x，高為y，則3x+y=9，0＜x＜3，表示正三棱柱的體積，利用基本不等式求最值，求出正三棱柱的外接球的半徑，即可求出外接球的體積．

解答 解：設(shè)正三棱柱的底面邊長為x，高為y，則3x+y=9，0＜x＜3，
正三棱柱的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}y$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}（3-x）$=3$\sqrt{3}$$•\frac{1}{2}x•\frac{1}{2}x•（3-x）$≤3$\sqrt{3}$•（$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+3-x}{3}$）³=3$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號成立，此時(shí)y=3，
可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點(diǎn)，則半徑為$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{43}{12}}$，
∴它的外接球的體積為$\frac{4}{3}π$•（$\sqrt{\frac{43}{12}}$）³=$\frac{43}{54}\sqrt{129}$π．
故答案為：$\frac{43}{54}\sqrt{129}$π．

點(diǎn)評 本題考查外接球的體積，考查基本不等式的運(yùn)用，確定正三棱柱的外接球的半徑是關(guān)鍵．