Question

下列命題：
①函數(shù)y=2cos（2x+

π

6

）圖象的一個對稱中心為（

π

6

，0）；
②函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

6

）在區(qū)間[-

π

3

，

11

6

π]上的值域為[-

3

2

，

2

2

]；
③函數(shù)y=cosx的圖象可由函數(shù)y=sin（x+

π

4

）的圖象向右平移

π

4

個單位得到；
④若方程sin（2x+

π

3

）-a=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解x₁，x₂，則x₁+x₂=

π

6

．其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：求x=

π

6

時的函數(shù)值判斷①；直接求解函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

6

）在區(qū)間[-

π

3

，

11

6

π]上的值域判斷②；
化y=cosx=sin（x+

π

2

）=sin（x+

π

4

+

π

4

）判斷③；求出函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）在[0，

π

2

]上的對稱軸方程，結(jié)合零點和方程根的關(guān)系判斷④．

解答： 解：對于①，
∵當(dāng)x=

π

6

時，函數(shù)y=2cos（2x+

π

6

）的值為0，
∴函數(shù)y=2cos（2x+

π

6

）圖象的一個對稱中心為（

π

6

，0），命題①正確；
對于②，
由x∈[-

π

3

，

11

6

π]，得

1

2

x-

π

6

∈[-

π

3

，

3π

4

]，
∴y=sin（

1

2

x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，命題②錯誤；
對于③，y=cosx=sin（x+

π

2

）=sin（x+

π

4

+

π

4

），
∴函數(shù)y=cosx的圖象可由函數(shù)y=sin（x+

π

4

）的圖象向左平移

π

4

個單位得到，命題③錯誤；
對于④，方程sin（2x+

π

3

）-a=0可化為方程sin（2x+

π

3

）=a，
函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）在[0，

π

2

]上的對稱軸方程是x=

π

6

，
∴若方程sin（2x+

π

3

）-a=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解x₁，x₂，則x₁+x₂=

π

6

，命題④正確．
∴正確命題的序號是①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．