Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-2a|．
（Ⅰ）對任意x∈R，不等式f（x）＞1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=|x-a|+|x-2a|≥|（x-a）-（x-2a）|=|a|，且f（x）＞1對任意x∈R成立，可得|a|＞1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，分類討論，解不等式f（x）＜3．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-a|+|x-2a|≥|（x-a）-（x-2a）|=|a|，且f（x）＞1對任意x∈R成立，
∴|a|＞1，
∴a＞1或a＜-1．…（5分）
（Ⅱ）a=-1時(shí)，f（x）=|x+1|+|x+2|＜3，
x≥-1，2x+3＜3，
∴x＜0，
∴-1≤x＜0；
-2＜x＜-1，-x-1+x+2＜3，恒成立；
x≤-2，-x-1-x-2＜3，
∴x＞-3，
∴-3＜x≤-2
∴f（x）＜3的解集為（-3，0）．…（10分）

點(diǎn)評 對于含有絕對值的題目，本身就是分類的，問題的提出已包含了分類的原因．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．