Question

已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β．現(xiàn)有四個結(jié)論：
①α∥β，且l∥α；
②α⊥β，且l⊥β；
③α與β相交，且交線垂直于l；
④α與β相交，且交線平行于l．
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,空間位置關(guān)系與距離

分析：若α∥β，由線面垂直的性質(zhì)，即可得到m∥n，即可判斷①；
若α⊥β，則由m⊥平面α，n⊥平面β，可將m，n平移為相交直線，設(shè)確定平面為γ，即可得到m⊥n，這與m，n不一定垂直，矛盾；
由于α與β相交，且不垂直，可設(shè)交線為a，設(shè)m，n平移為相交直線，確定平面為γ，由線面垂直的性質(zhì)和判定，即可得到a∥l，即可判斷③，④．

解答： 解：對于①，若α∥β，由m⊥平面α，則m⊥β，又n⊥平面β，即有m∥n，與m，n異面矛盾，故①錯；
對于②，若α⊥β，則由m⊥平面α，n⊥平面β，可將m，n平移為相交直線，設(shè)確定平面為γ，則可證γ與α，β的交線圍成的四邊形是矩形，即有m⊥n，這與m，n是異面直線，不一定垂直矛盾，故②錯；
對于③，由上面的分析可知，α與β相交，且不垂直，設(shè)m，n平移為相交直線，確定平面為γ，
則由l⊥m，l⊥n，易得l⊥γ，且設(shè)α，β的交線為a，則易得a⊥m，a⊥n，即得a⊥γ，則a∥l，
故③錯；
對于④，由上面的分析可知，α與β相交，且不垂直，設(shè)m，n平移為相交直線，確定平面為γ，
則由l⊥m，l⊥n，易得l⊥γ，且設(shè)α，β的交線為a，則易得a⊥m，a⊥n，即得a⊥γ，則a∥l，
故④對．
故答案為：④．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面和面面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理及運用，掌握這些定理和正確解題的關(guān)鍵．