Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，求函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸的距離為

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)是偶函數(shù)求得φ，再由函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸的距離為

π

2

求得函數(shù)周期，由周期公式求ω，則函數(shù)解析式可求；
（2）利用函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求得y=g（x）的解析式，然后利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法求y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，
∴φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

2

．
由函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸的距離為

π

2

，得

T

2

=

π

2

，
∴T=π，則ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象的解析式為：g(x)=2cos(

x

2

-

π

3

)．
由2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π，得

2π

3

+4kπ≤x≤

8π

3

+4kπ，k∈Z．
∴y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

2π

3

+4kπ，

8π

3

+4kπ]，k∈Z．

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)的圖象平移，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，是中檔題．