Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用數量積得坐標運算和兩角和的正弦公式及周期公式即可得出f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（II）利用三角函數的單調性、三角形的面積計算公式及其余弦定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函數f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos²x
=

3

sin2x+cos2x+3=2sin(2x+

π

6

)+3．
∴T=

2π

2

=π，
由于2x+

π

6

=kπ+

π

2

，則x=

kπ

2

+

π

6

（k∈N）
故函數f（x）的最小正周期為π，對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈N）．
（Ⅱ）由f（A）=4得，2sin(2A+

π

6

)+3=4，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
又∵A為△ABC的內角，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
∵

1

2

bcsinA=

3

2

，b=1，
∴

1

2

×

3

2

×c=

3

2

，解得c=2．
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2×2×1×

1

2

=3．
∴a=

3

．

點評：熟練掌握數量積得坐標運算和兩角和的正弦公式及周期公式、三角函數的單調性、三角形的面積計算公式及其余弦定理等是解題的關鍵．