Question

6．已知f（x）為偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=x-[x]（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）．設(shè)g（x）=f（x）-kx-k（k∈R），若k=1，則函數(shù)g（x）有2個零點；若函數(shù)g（x）三個不同的零點，則k的取值范圍是$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義，通過k=1，化簡函數(shù)g（x）的解析式，畫出圖象判斷零點個數(shù)；函數(shù)g（x）三個不同的零點，通過兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：k=1，x≥0時，函數(shù)g（x）=f（x）-x-1，令g（x）=0，可得f（x）=x-[x]，y=x+1，畫出兩個函數(shù)的圖象如圖：

∵函數(shù)g（x）=f（x）-x-1有2個零點．
因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以先考慮x≥0的情況，

當(dāng)0≤x＜1時，[x]=0，此時f（x）=x-[x]=x．
當(dāng)1≤x＜2時，[x]=1，此時f（x）=x-[x]=x-1．
當(dāng)2≤x＜3時，[x]=2，此時f（x）=x-[x]=x-2．
當(dāng)3≤x＜4時，[x]=3，此時f（x）=x-[x]=x-3．
設(shè)g（x）=kx+k=k（x+1），則g（x）過定點P（-1，0），
坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和g（x）的圖象如圖：
當(dāng)g（x）經(jīng)過點A（-5，1），B（-4，1）時有3個不同的交點，當(dāng)經(jīng)過點C（1，1），D（2，1）時，有2個不同的交點，
則AP的斜率k=-$\frac{1}{4}$，BP的斜率k=-$\frac{1}{3}$，PC的斜率k=$\frac{1}{2}$，PD的斜率k=$\frac{1}{3}$，
故滿足條件的斜率k的取值范圍是：$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$，
故答案為：2；$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

點評 本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的問題，利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想．