Question

6．已知f（x）為偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=x-[x]（[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）．設(shè)g（x）=f（x）-kx-k（k∈R），若k=1，則函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；若函數(shù)g（x）三個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義，通過(guò)k=1，化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）的解析式，畫出圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；函數(shù)g（x）三個(gè)不同的零點(diǎn)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：k=1，x≥0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-x-1，令g（x）=0，可得f（x）=x-[x]，y=x+1，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：

∵函數(shù)g（x）=f（x）-x-1有2個(gè)零點(diǎn)．
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以先考慮x≥0的情況，

當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，此時(shí)f（x）=x-[x]=x．
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，此時(shí)f（x）=x-[x]=x-1．
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，此時(shí)f（x）=x-[x]=x-2．
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，[x]=3，此時(shí)f（x）=x-[x]=x-3．
設(shè)g（x）=kx+k=k（x+1），則g（x）過(guò)定點(diǎn)P（-1，0），
坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和g（x）的圖象如圖：
當(dāng)g（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5，1），B（-4，1）時(shí)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，1），D（2，1）時(shí)，有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
則AP的斜率k=-$\frac{1}{4}$，BP的斜率k=-$\frac{1}{3}$，PC的斜率k=$\frac{1}{2}$，PD的斜率k=$\frac{1}{3}$，
故滿足條件的斜率k的取值范圍是：$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$，
故答案為：2；$（{-\frac{1}{3}}\right.，\left.{-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本思想．