Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）討論函數(shù)的零點個數(shù)？（提示：）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（-x）=f（x）建立等式關系，即可求出b的值；
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，則在（0，1）上恒成立，然后將a分離出來，研究不等式另一側的最值即可求出a的范圍；
（3）令，研究該函數(shù)的單調(diào)性和極值，結合圖形可判斷函數(shù)的零點個數(shù)．
解答：解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx所以…（4分）
依題意，或在（0，1）上恒成立…（6分）
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）
（3），令．
所以…（10分）
令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）		（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+		-		+		-
h（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當時，函數(shù)無零點；
當k＜1或時，函數(shù)有兩個零點；當k=1時，函數(shù)有三個零點．當時，函數(shù)有四個零點．…（16分）
點評：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性和極值等有關基礎知識，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．