Question

14．若f（x）=xe^x-a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （-$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程的關系，利用參數(shù)分離法進行分離，構造函數(shù)，求出函數(shù)的導函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)的零點和最值關系即可得到結論．

解答 解：若f（x）=xe^x-a有兩個零點，等價為f（x）=xe^x-a=0，即a=xe^x有兩個根，
設h（x）=xe^x，
則函數(shù)h（x）=xe^x的導函數(shù)h′（x）=（x+1）e^x，
令h′（x）=0，則x=-1
∵當x∈（-∞，-1）時，h′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
當x∈（-1，+∞）時，h′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；
故當x=-1時，函數(shù)取最小值h（-1）=-e^-1，
∵當x≥0時，h（x）≥0，
當x＜0時，h（x）＜0，
∴若a=xe^x有兩個根，
則$-\frac{1}{e}$＜a＜0，
故選：D

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中熟練掌握函數(shù)零點與方程根之間的對應關系是解答的關鍵，利用導數(shù)是解決本題的關鍵．