Question

9．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）兩邊取倒數(shù)，再兩邊加$\frac{1}{2}$，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求；
（3）由（1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)即可得到所求．

解答 解：（1）證明：a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，可得：
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
可得b_n+1=3b_n，
即有數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列；
（2）前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）；
（3）由（1）可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
即有a_n=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造法和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．