Question

3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=1．
（1）求證：∠A=∠B；
（2）求邊長c的值；
（3）若|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=6，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量數(shù)量積的運算可得bccosA=accosB，由正弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式可得sin（A-B）=0，結合范圍-π＜∠A-∠B＜π，即可得證∠A=∠B．
（2）由（1）知a=b，再由余弦定理，結合條件bccosA=1，即可得解c的值．
（3）由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=6，平方得：b²+c²+2bccosA=36，結合bccosA=1，a=b，c=$\sqrt{2}$，解得a，b的值，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分12分）
（1）證明：因為$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
所以bccosA=accosB，即bcosA=acosB，
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB，
所以sin（A-B）=0，
因為-π＜∠A-∠B＜π，
所以∠A-∠B=0，
所以∠A=∠B．…（4分）
（2）解：由（1）知：∠A=∠B，
所以a=b，再由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA  結合條件bccosA=1，a=b得：c=$\sqrt{2}$．…（8分）
（3）解：由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=6，平方得：b²+c²+2bccosA=36，
又bccosA=1，a=b，c=$\sqrt{2}$，得a=b=4$\sqrt{2}$，
從而有cosA=$\frac{1}{8}$，則sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
所以△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．