Question

已知拋物線C：y²=4x的對稱軸上一點A（a，0）（a＞0），過點A的直線l交拋物線于M、N兩點．
（1）若拋物線C上到點A最近的點恰為拋物線的頂點（0，0），求a的取值范圍；
（2）設直線OM的斜率為k_OM，直線ON的斜率為k_ON，若k_OM•k_ON=-2，求a的值．

Answer 1

解：（I）設拋物線上任意一點P（x，y）
則PA²=（x-a）²+4x=[x-（a-2）]²+4a-4
由條件可知，a-2≤0，∴0＜a≤2
（II）設直線l：x=ty+a代入y²=4x得：y²-4ty-4a=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a
∴===
∴a=2
分析：（I）設拋物線上任意一點P（x，y），則PA²=（x-a）²+4x=[x-（a-2）]²+4a-4，由0＜a≤2結合二次函數(shù)的性質可求
（II）設直線l：x=ty+a代入y²=4x得：y²-4ty-4a=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a，代入=可求a
點評：本題以拋物線的為載體考查了二次函數(shù)的性質，要注意0＜a≤2的條件的限制，（2）主要考查了方程的根與系數(shù)關系的應用，體現(xiàn)出函數(shù)與方程的相互轉化的思想在解題中的應用．