對(duì)于函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)探究函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義加以證明;
(3)當(dāng)2<a<4時(shí),求函數(shù)f(x)在[-3,-1]上的最大值和最小值.

解:(1)由ax-1≠0,得x≠0,∴定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
,
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-=,
①當(dāng)0<a<1時(shí),=1,∴<0,,,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)單調(diào)遞增;
②當(dāng)a>1時(shí),,∴,,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(0,+∞)為增函數(shù);當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(0,+∞)為減函數(shù).
(3)由(2)知:當(dāng)2<a<4時(shí),函數(shù)f(x)在[1,3]上是減函數(shù),由(1)知:f(x)為奇函數(shù),所以f(x)在[-3,-1]上也為減函數(shù),則
分析:(1)先求函數(shù)f(x)的定義域看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若對(duì)稱(chēng),再依據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系作出判斷.
(2)先設(shè)0<x1<x2,再比較f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系,依據(jù)定義作出判斷,其間要對(duì)a進(jìn)行討論.
(3)本題可利用(1),(2)問(wèn)的結(jié)論求出.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,利用定義是解決該類(lèi)問(wèn)題的常用辦法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=e|lnx|+a|x-1|(a為實(shí)數(shù))
(I)若a=1,判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
(II)若對(duì)于任意的x∈(0,1),總有f(x)的函數(shù)值不小于1成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x -1 -0.72 -0.44 -0.16 0.12 0.4
y的近似值 4.00 1.15 0.02 -0.14 0.11 0.08
請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點(diǎn),寫(xiě)出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù),若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x-1-0.72-0.44-0.160.120.4
y的近似值4.001.150.02-0.140.110.08
請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點(diǎn),寫(xiě)出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù),若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=e|lnx|+a|x-1|(a為實(shí)數(shù))
(I)若a=1,判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
(II)若對(duì)于任意的x∈(0,1),總有f(x)的函數(shù)值不小于1成立,求a的取值范圍.

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某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x-1-0.72-0.44-0.160.120.4
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(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點(diǎn),寫(xiě)出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù),若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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