Question

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0，a，b為常數(shù)）的 性質(zhì)：
（Ⅰ）甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值（精確到0.01）：

x	-1	-0.72	-0.44	-0.16	0.12	0.4
y的近似值	4.00	1.15	0.02	-0.14	0.11	0.08

請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：
（i）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，寫出你的判斷并加以證明；
（ii）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰為直線AB的斜率，請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù)，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（i）根據(jù)函數(shù)f（x）=ax³+bx，判定函數(shù)的奇偶性，根據(jù)表格求出f（0.44）和f（0.4）的符號(hào)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)判定定理即可求得結(jié)論；
（ii）根據(jù)（i），求出其零點(diǎn)的范圍，即可求出

b

a

的范圍，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）把點(diǎn)A（-1，4）代入函數(shù)的表達(dá)式，即可求得-a-b=4，根據(jù)直線的斜率公式求得直線AB的斜率，求導(dǎo)，求得f'（m），解此方程即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）（i）因?yàn)閒（-x）+f（x）=a（-x）³+b（-x）+（ax³+bx）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
因此由f（0.44）=-f（-0.44）≈-0.02，得f（0.44）＜0，
又由f（0.4）≈0.08，得f（0.4）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)存在零點(diǎn)；
（ii）因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)有零點(diǎn)，
所以方程ax³+bx=ax（x²+

b

a

）=0在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)有解，
得0.4＜

- b a

＜0.44，
所以-0.1936＜

b

a

＜-0.16．
注意x＜-0.3，所以有3x²＞0.27，得3x²+

b

a

＞0．
由f（-1）=-a-b，f（0.4）=0.064a+0.4b，
得-0.84a=f（1）+2.5f（0.4）≈4.2，所以a＜0．
綜上，f′（x）=3ax²+b=a（x²+

b

a

）＜0對(duì)任意的x∈（-∞，-0.3）恒成立，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，4）在函數(shù)f（x）圖象上，
所以f（-1）=-a-b=4，所以f（x）=ax³-（a+4）x．
所以由f′（m）=3am²-a-4，得3am²-a-4=

f(t)-4

t-(-1)

．
又a≠0，化簡(jiǎn)得m²=

t2-t+1

3

，即m₁=-

t2-t+1 3

，m₂=

t2-t+1 3

，
所以乙同學(xué)的判斷是正確的．
且由±

t2-t+1 3

=t（-1＜t＜2），得t=0.5，所以
（1）當(dāng)-1＜t≤0.5時(shí)，m₁∈（-1，t），m₂≥t，滿足條件的m存在，且只有一個(gè)；
（2）當(dāng)0.5＜t＜2時(shí)，m₁，m₂∈（-1，t），滿足條件的m存在，且有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，和運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)據(jù)處理能力；考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想．