【題目】已知數(shù)列滿足,且.

（1）當(dāng)時,寫出的通項公式（直接寫出答案,無需過程）;

（2）求最小整數(shù),使得當(dāng)時, 是單調(diào)遞增數(shù)列;

（3）是否存在使得是等比數(shù)列？若存在請求出;若不存在請說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）寫出幾項，歸納即得，（2）先計算歸納可得當(dāng)時, 是單調(diào)遞增數(shù)列.再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法給以證明，（3）根據(jù)計算可得時, 不是等比數(shù)列.再證時 , 也不是等比數(shù)列.

試題解析：（1）

（2）當(dāng)時, ,,,不單調(diào)遞增；

當(dāng)時,由（1）知不單調(diào)遞增；

當(dāng)時, ,,,不單調(diào)遞增；

當(dāng)時, ,,,

當(dāng)時, ,,,

由此猜測當(dāng)時, 是單調(diào)遞增數(shù)列.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明一個更強得猜想:當(dāng)時,

當(dāng)時,猜想成立；

假設(shè)當(dāng)時,猜想成立,即,

當(dāng)時,因為,所以,

即時,猜想扔成立.

由,及數(shù)學(xué)歸納法知,當(dāng)時, ,

此時因為,所以,所以,

由此當(dāng)時, 是單調(diào)遞增數(shù)列.

（3）由（2）知, 時, 不是等比數(shù)列.

當(dāng)時, ,因此,

可求出通項公式為,所以不存在使得是等比數(shù)列

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