Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性的定義，證明該函數(shù)為奇函數(shù)．
（Ⅱ）利用反函數(shù)法求得a^x的解析式，結(jié)合a^x＞0，求得y的范圍，可得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明：由于函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且滿足f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1{-a}^{x}}{1{+a}^{x}}$=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）∵y=f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，求得 a^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，∴$\frac{y+1}{y-1}$＜0，即（y+1）•（y-1）＜0，∴-1＜y＜1，
故f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義，指數(shù)函數(shù)的值域，解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題．