Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列．
（1）求B的值；
（2）求2sin²A-1+cos（A-C）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化積、誘導(dǎo)公式等即可得出．
（2）由$A+C=\frac{2π}{3}$，可得A-C=2A-$\frac{2π}{3}$，再利用倍角公式即可化為2sin²A-1+cos（A-C）=$\sqrt{3}$$sin（2A-\frac{π}{3}）$，由于$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}$＜π，即可得出．

解答 解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，∴2bcosB=acosC+ccosA，
由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$A+C=\frac{2π}{3}$，∴A-C=2A-$\frac{2π}{3}$，
∴$2{sin^2}A-1+cos（{A-C}）=-cos2A+cos（{2A-\frac{2π}{3}}）$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A-\frac{3}{2}cos2A=\sqrt{3}sin（{2A-\frac{π}{3}}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}$＜π，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$sin（2A-\frac{π}{3}）$≤1，
∴2sin²A-1+cos（A-C）的取值范$（{-\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$．

點評 本題考查了正弦定理、和差化積、誘導(dǎo)公式、倍角公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．