Question

已知x₁，x₂∈（0，π）且x₁＜x₂，則下列五個(gè)不等式：
①

sinx1

x1

＜

sinx2

x2

；
②sinx₁＜sinx₂；  
③

1

2

（sinx₁+sinx₂）＜sin（

x1+x2

2

）；
④sin

x1

2

＞sin

x2

2

；  
⑤

sin x1 2

x1

＞

sin x2 2

x2

．  
其中正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①令f（x）=

sinx

x

（x∈（0，π）），則f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，再令u（x）=xcosx-sinx（x∈（0，π）），再一次求導(dǎo)即可得出f（x）=

sinx

x

在x∈（0，π）單調(diào)遞減，因此①不正確；
②由于函數(shù)f（x）=sinx在(0，

π

2

]單調(diào)遞增，在[

π

2

，π)單調(diào)遞減，因此sinx₁＜sinx₂，不成立；
③取x1=

π

4

，x₂=

π

2

，經(jīng)驗(yàn)證可知：不成立；
④考察函數(shù)f(x)=sin

x

2

在區(qū)間(0，

π

2

]單調(diào)遞增，即可判斷出；
⑤

sin x1 2

x1

＞

sin x2 2

x2

即

sin x1 2

x1 2

＞

sin x2 2

x2 2

，由①即可判斷出．

解答： 解：①令f（x）=

sinx

x

（x∈（0，π）），則f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，
再令u（x）=xcosx-sinx（x∈（0，π）），則u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，
∴函數(shù)u（x）在（x∈（0，π））單調(diào)遞減，∴u（x）＜u（0）=0，
∴f′（x）＜0，因此f（x）=

sinx

x

在x∈（0，π）單調(diào)遞減，∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＞f（x₂），

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

，因此①不正確；
②∵函數(shù)f（x）=sinx在(0，

π

2

]單調(diào)遞增，在[

π

2

，π)單調(diào)遞減，因此sinx₁＜sinx₂，不成立；
③

1

2

（sinx₁+sinx₂）＜sin（

x1+x2

2

），取x1=

π

4

，x₂=

π

2

，經(jīng)驗(yàn)證可知：不成立；
④考察函數(shù)f(x)=sin

x

2

在區(qū)間(0，

π

2

]單調(diào)遞增，∴sin

x1

2

＜sin

x2

2

，因此不正確；
⑤

sin x1 2

x1

＞

sin x2 2

x2

即

sin x1 2

x1 2

＞

sin x2 2

x2 2

，由①可知：正確．
其中正確的序號(hào)是⑤．
故答案為：⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．