給出下列四個(gè)命題:
①f(x)=x3-3x2是增函數(shù),無(wú)極值.
②f(x)=x3-3x2在(-∞,2)上沒(méi)有最大值
③由曲線y=x,y=x2所圍成圖形的面積是
1
6
 
④函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與直線2x-y=0平行的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2)
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( �。�
A、1B、2C、3D、4
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:①求導(dǎo)數(shù)f′(x),利用導(dǎo)數(shù)判定f(x)的增減性和極值;
②結(jié)合①,利用導(dǎo)數(shù)判定f(x)的增減性、求極(最)值;
③利用定積分求出曲線y=x,y=x2所圍成圖形的面積S; 
④利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)的切線的斜率=2時(shí)a的取值范圍.
解答: 解:對(duì)于①,∵f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù),
當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù),
當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);
∴x=0時(shí)f(x)有極大值,x=2時(shí)f(x)有極小值,∴①錯(cuò)誤.
對(duì)于②,由①知,當(dāng)x<0時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù),
當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù);
∴x=0時(shí)f(x)有極大值f(0),也是最大值,∴②錯(cuò)誤.
對(duì)于③,∵
y=x
y=x2
,解得
x=0
y=0
,或
x=1
y=1
;
∴由曲線y=x,y=x2所圍成圖形的面積
S=
1
0
(x-x2)dx=(
1
2
x2-
1
3
x3
|
1
0
=
1
2
-
1
3
=
1
6
,∴③正確. 
對(duì)于④,∵f′(x)=
1
x
+a=2(x>0),∴a=2-
1
x
<0;
∴f(x)=lnx+ax存在與2x-y=0平行的切線時(shí),a的取值范圍是(-∞,2),∴④正確.
綜上,以上正確的命題為③④.
故選:B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值的問(wèn)題,也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線斜率問(wèn)題,利用定積分求曲線所圍成的面積等問(wèn)題,是綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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sinx1
x1
sinx2
x2
;
②sinx1<sinx2;  
1
2
(sinx1+sinx2)<sin(
x1+x2
2
);
④sin
x1
2
>sin
x2
2
;  
sin
x1
2
x1
sin
x2
2
x2
.  
其中正確的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知下列結(jié)論:
①若
a
=
b
,
b
=
c
,則
a
=
c
;  
②若
a
b
,
b
c
,則
a
c
;
③|
a
b
|=|
a
|•|
b
|;  
④若
b
=
c
,則
a
b
=
a
c

其中正確的是
 

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用輾轉(zhuǎn)相除法求49與91的最大公約數(shù)時(shí)的需要運(yùn)算的次數(shù)為( �。�
A、1次B、2次C、3次D、4次

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設(shè)向量
e1
、
e2
滿足:|
e1
|=2,|
e2
|=1,
e1
,
e2
的夾角是60°,若2t
e1
+7
e2
e1
+t
e2
的夾角為鈍角,則t的范圍是(  )
A、(-7,-
1
2
B、(-7,-
14
2
)∪(-
14
2
,-
1
2
C、[-7,-
14
2
)∪(-
14
2
,-
1
2
]
D、(-∞,-7)∪(-
1
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知平面向量
a
,
b
滿足|
a
|=3,|
b
|=2,
a
•(
a
-3
b
)=0,則
a
b
的夾角為( �。�
A、60°B、30°
C、150°D、120°

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如圖直三棱柱中,AB⊥AC,AB=AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn),
(Ⅰ)證明:DE⊥平面BCC1
(Ⅱ)設(shè)B1C與平面BCD所成角的大小為30°,求二面角A-BD-C的大�。�

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