Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或．

【解析】試題分析:(1) 設(shè)橢圓的方程為： ，根據(jù)已知點(diǎn)和離心率列方程解出a,b,求出橢圓的方程;(2) 由已知直線過(guò)左焦點(diǎn), 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意; 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為： ,與橢圓方程聯(lián)立,消去y,得出關(guān)于x的一元二次方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,根據(jù)面積公式求出k的值,可得直線方程.

試題解析:

（1）設(shè)橢圓的方程為： ，

由已知： 得： ， ，

所以，橢圓的方程為： .

（2）由已知直線過(guò)左焦點(diǎn)．

①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， ， ，此時(shí)，

則，不滿足條件．

②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：

由　得

所以， ，

而，

由已知得，

所以，則，所以，

所以直線的方程為： 或．

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．