Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．
下列說法正確的有：

①②

．（寫出所有正確說法的序號(hào)）
①對(duì)給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；
②g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)；
③函數(shù)f(x)=

x

x2+x+1

不存在承托函數(shù)；
④函數(shù)f(x)=

1

5x2-4x+11

，若函數(shù)g（x）的圖象恰為f（x）在點(diǎn)p(1，

1

2

)處的切線，則g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．

Answer 1

分析：①函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)）①舉例可以說明，如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無數(shù)個(gè)，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數(shù)；
②要說明g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)，即證明F（x）=e^x-2x的圖象恒在x軸上方；
③先求函數(shù)的值域，從而可知函數(shù)有無數(shù)個(gè)承托函數(shù)；
④先求切線方程，再求x=0，1，2時(shí)的函數(shù)值，即可判斷．

解答：解：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無數(shù)個(gè)，
再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數(shù)，∴命題①正確；
②令F（x）=e^x-ex，F(xiàn)′（x）=e^x-e=0，得x=1，
當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值=0，
∴f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立
∴②正確；
③設(shè)函數(shù)f(x)=

x

x2+x+1

=y，則yx²+（y-1）x+y=0
若y=0，則x=0，成立
若y≠0，則△≥0，即（y-1）²-4y²≥0且y≠0，
∴（3y-1）（y+1）≤0且y≠0，
∴-1≤y＜0或0＜y≤

1

3

綜上知，-1≤y≤

1

3

∴y=A（A≤-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無數(shù)個(gè)；
∴命題③不正確；
④∵函數(shù)f(x)=

1

5x2-4x+11

，
∴f′(x)=

4-10x

(5x2-4x+11)2

∴f′(1)=

4-10

(5 -4+11)2

=-

1

24

∵f(1)=

1

5 -4+11

=

1

12

∴切線方程為：y-

1

12

=-

1

24

(x-1)，即g（x）=-

1

24

x+

1

8

∵f(0)=

1

11

，g(0)=

1

8

，∴f（0）＜g（0）
∵f(1)=

1

12

，g(1)=

1

12

，∴f（1）=g（1）
∵f(2)=

1

23

，g(2)=

1

24

，∴f（2）＞g（2）
∴命題④不正確．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查對(duì)題意的理解和轉(zhuǎn)化的能力，要說明一個(gè)命題是正確的，必須給出證明，對(duì)于存在性命題的探討，只需舉例說明即可，對(duì)于不正確的命題，舉反例即可，有一定的綜合性．