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定義在實數集R上的函數f(x),如果存在函數g(x)=Ax+B(A,B為常數)使得f(x)≥g(x)對任意的x∈R都成立,則稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數,則下列說法正確的是( 。
A、函數f(x)=x2-2x不存在承托函數
B、g(x)=x為函數f(x)=sinx的一個承托函數
C、g(x)=x為函數f(x)=ex-1的一個承托函數
D、函數f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數
分析:函數g(x)=Ax+B(A,B為常數)是函數f(x)的一個承托函數,即說明函數f(x)的圖象恒在函數g(x)的上方(至多有一個交點)A、g(x)=-1是函數f(x)=x2-2x的一個承托函數;故A做;B、舉例可以說明,當x=
π
2
時,可知f(x)<g(x),可知結論錯誤;C、要說明g(x)=x為函數f(x)=ex-1的一個承托函數;即證明F(x)=ex-x-1的圖象恒在x軸上方;④g(x)=-1是函數f(x)=
2x
x2-x+1
的一個承托函數,因此D錯.
解答:解:A、令g(x)=-1,則總有f(x)≥g(x)對任意的x∈R都成立,因此g(x)=-1是函數f(x)=x2-2x的一個承托函數,故A錯;
B、令x=
π
2
,則g(
π
2
)=
π
2
>f(
π
2
)=1,因此g(x)=x不是函數f(x)=sinx的一個承托函數,故B錯;
C、令F(x)=ex-x-1,F′(x)=ex-1=0,得x=0,
當x<0時,F′(x)<0,F(x)單調遞減,
當x>0時,F′(x)>0,F(x)單調遞增,
∴當x=0時,F(x)取最小值:0,
即F(x)=ex-x-1≥0恒成立,即f(x)≥g(x)恒成立,故C正確;
D、令g(x)=-1,則f(x)-g(x)=
2x
x2-x+1
+1
=f(x)=
x2+x +1
x2-x+1
>0,
∴總有f(x)≥g(x)對任意的x∈R都成立,因此g(x)=-1是函數f(x)=
2x
x2-x+1
的一個承托函數,故D錯;
故選C.
點評:本題是以抽象函數為承托,考查學生的創(chuàng)新能力,屬中檔題,抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的,它雖然沒有具體的表達式,但是有一定的對應法則,滿足一定的性質,這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在實數集R上的函數f(x),如果存在函數g(x)=Ax+B(A、B為常數),使得f(x)≥g(x)對一切實數x都成立,那么稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數.給出如下四個命題:
①對于給定的函數f(x),其承托函數可能不存在,也可能有無數個;
②定義域和值域都是R的函數f(x)不存在承托函數;
③g(x)=2x為函數f(x)=|3x|的一個承托函數;
g(x)=
12
x
為函數f(x)=x2的一個承托函數.
其中正確的命題有
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在實數集R上的函數f(x),如果存在函數g(x)=Ax+B(A,B為常數),使得f(x)≥g(x)對一切實數都成立,那么稱為g(x)為函數f(x)的一個承托函數,給出如下命題:
①定義域和值域都是R的函數f(x)不存在承托函數;
②g(x)=2x為函數f(x)=ex的一個承托函數;
③g(x)=
1
2
x為函數f(x)=x2的一個承托函數;
④對給定的函數f(x),其承托函數可能不存在,也可能有無數個
其中正確的命題的個數是(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在實數集R上的函數f(x),如果存在函數g(x)=Ax+B(A,B為常數),使得f(x)≥g(x)對一切實數x都成立,那么稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數.
下列說法正確的有:
①②
①②
.(寫出所有正確說法的序號)
①對給定的函數f(x),其承托函數可能不存在,也可能有無數個;
②g(x)=ex為函數f(x)=ex的一個承托函數;
③函數f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數;
④函數f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函數g(x)的圖象恰為f(x)在點p(1,
1
2
)
處的切線,則g(x)為函數f(x)的一個承托函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在實數集R上的函數f(x),同時滿足以下三個條件:
①f(-1)=2;②x<0時,f(x)>1;③對任意實數x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判斷函數f(x)的單調性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集.

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