Question

14．已知橢圓C過點(diǎn)P（2，2$\sqrt{2}$），且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{13}$=1有相同的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上存在A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{13}$=1，可得焦點(diǎn)$（±3\sqrt{3}，0）$．設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{8}{^{2}}=1}\\{c=3\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=-x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：25x²-34tx+17t²-408=0．
△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得$\frac{8t}{25}$=$\frac{17t}{25}$+m，代入△＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{13}$=1，可得c=$\sqrt{40-13}$=3$\sqrt{3}$，可得焦點(diǎn)$（±3\sqrt{3}，0）$．
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{8}{^{2}}=1}\\{c=3\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=51，b²=24．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{51}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1．
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=-x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{51}+\frac{{y}^{2}}{24}=1}\end{array}\right.$，化為：25x²-34tx+17t²-408=0．
∴△=34²t²-100（17t²-408）＞0，化為：t²＜75．
∴x₁+x₂=$\frac{34t}{25}$，x₁x₂=$\frac{17{t}^{2}-408}{25}$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{17t}{25}$，y₀=-x₀+t=$\frac{8t}{25}$．
∴$\frac{8t}{25}$=$\frac{17t}{25}$+m，
解得t=$-\frac{25m}{9}$，代入t²＜75．
可得$-\frac{3\sqrt{3}}{5}＜m＜\frac{3\sqrt{3}}{5}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$-\frac{3\sqrt{3}}{5}＜m＜\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交中點(diǎn)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．