Question

4．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集為{x|x＞2或x＜-3}．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-f（$\frac{x}{2}$）≤k在R上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意知2，-3是方程|ax+1|=5的解，從而解得．
（Ⅱ）化簡f（x）-f（$\frac{x}{2}$）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-1}\\{-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}}\\{x，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，從而可確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而確定答案．

解答 解：（I）∵不等式f（x）＞5的解集為{x|x＞2或x＜-3}，
∴2，-3是方程|ax+1|=5的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|2a+1|=5}\\{|-3a+1|=5}\end{array}\right.$，
解得，a=2；
（Ⅱ）∵f（x）-f（$\frac{x}{2}$）=|2x+1|-|x+1|
=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-1}\\{-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}}\\{x，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
∴f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴若使不等式f（x）-f（$\frac{x}{2}$）≤k在R上有解，
只需使k≥$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了不等式與方程的關系應用及分段函數(shù)的應用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性及最值的確定．