Question

一個袋中裝有黑球，白球和紅球共n（n∈N^* ）個，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是

2

5

．現(xiàn)從袋中任意摸出2個球．
（1）若n=15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是

4

7

，那么
①分別求袋中裝有的黑球、白球和紅球的個數(shù)；
②設(shè)ξ 表示摸出的2個球中紅球的個數(shù)，求隨機(jī)變量ξ 的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）當(dāng)n取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少？

Answer 1

分析：（1）①本題是一個等可能事件的概率，設(shè)出袋中黑球的個數(shù)為x 個，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是15，表示出概率，解方程即可．
②由①知隨機(jī)變量ξ 的取值為0，1，2，結(jié)合第一問做出的結(jié)果，寫出變量的分布列和期望值．
（2）摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，需要表示出從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球的概率，整理出關(guān)于n的表示式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．

解答：解：（1）①由題意知本題是一個等可能事件的概率，
設(shè)袋中黑球的個數(shù)為x 個，記“從袋中任意摸出一個球，得到黑球”為事件A，
則P(A)=

x

15

=

2

5

 
∴x=6．       
設(shè)袋中白球的個數(shù)為y （個），記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件B，
則P(B)=1-

C 2 15-y

C 2 15

=

4

7

 
∴y²-29y+120=0，∴y=5 或y=24 （舍）．
 即白球個數(shù)為5個．
∴紅球的個數(shù)為15-6-5=4 （個）．
綜上，袋中裝有的黑球、白球和紅球的個數(shù)分別為6，5，4．   
②由①知：隨機(jī)變量ξ 的取值為0，1，2，
分布列是

ξ	0	1	2
P	11 21	44 105	2 35

∴ξ 的數(shù)學(xué)期望Eξ=

11

21

×0+

44

105

×1+

2

35

×2=

56

105

．    
（2）設(shè)袋中有黑球z 個，則z=

2

5

n(n=5，10，15，…）
設(shè)“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球”為事件C，
則P(C)=1-

C 2 3 5 n

C 2 n

=

16

25

+

6

25

×

1

n-1

，
當(dāng)n=5 時，P（C） 最大，最大值為

7

10

．

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是對于求最值的問題，要先表示出所求的量的表示式，在根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值．