已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a,公差為b,等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b,公比為a,其中a,b都是大于1
的正整數(shù),且a1<b1,b2<a3
(1)求a的值;
(2)若對(duì)于任意的n∈N+,總存在m∈N+,使得am+3=bn成立,求b的值;
(3)令Cn=an+1+bn,問(wèn)數(shù)列{Cn}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)由已知,得an=a+(n-1)b,bn=b•an-1.由a1<b1,b2<a3,得a<b,ab<a+2b.
因a,b都為大于1的正整數(shù),故a≥2.又b>a,故b≥3.
再由ab<a+2b,得(a-2)b<a.
由b>a,故(a-2)b<b,即(a-3)b<0.
由b≥3,故a-3<0,解得a<3.
于是2≤a<3,根據(jù)a∈N,可得a=2.
(2)由a=2,對(duì)于任意的n∈N*,均存在m∈N+,使得b(m-1)+5=b•2n-1,則b(2n-1-m+1)=5.
又b≥3,由數(shù)的整除性,得b是5的約數(shù).
故2n-1-m+1=1,b=5.
所以b=5時(shí),存在正自然數(shù)m=2n-1滿(mǎn)足題意.
(3)設(shè)數(shù)列{Cn}中,Cn,Cn+1,Cn+2成等比數(shù)列,由Cn=2+nb+b•2n-1,(Cn+12=Cn•Cn+2,得(2+nb+b+b•2n2=(2+nb+b•2n-1)(2+nb+2b+b•2n+1).
化簡(jiǎn),得b=2n+(n-2)•b•2n-1.(※)
當(dāng)n=1時(shí),b=1時(shí),等式(※)成立,而b≥3,不成立.
當(dāng)n=2時(shí),b=4時(shí),等式(※)成立.
當(dāng)n≥3時(shí),b=2n+(n-2)•b•2n-1>(n-2)•b•2n-1≥4b,這與b≥3矛盾.
這時(shí)等式(※)不成立.
綜上所述,當(dāng)b≠4時(shí),不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列;當(dāng)b=4時(shí),數(shù)列{Cn}中的第二、三、四項(xiàng)成等比數(shù)列,這三項(xiàng)依次是18,30,50.
分析:(1)由題意知an=a+(n-1)b,bn=b•an-1.b≥3.a(chǎn)<3.再由2≤a<3,根據(jù)a∈N,可得a=2.
(2)由題意知b(2n-1-m+1)=5.再b≥3和數(shù)的整除性,可知b是5的約數(shù).故2n-1-m+1=1,b=5.
(3)設(shè)數(shù)列{Cn}中,Cn,Cn+1,Cn+2成等比數(shù)列,由Cn=2+nb+b•2n-1,(Cn+12=Cn•Cn+2,得(2+nb+b+b•2n2=(2+nb+b•2n-1)(2+nb+2b+b•2n+1).由此可以推出當(dāng)b≠4時(shí),不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列;當(dāng)b=4時(shí),數(shù)列{Cn}中的第二、三、四項(xiàng)成等比數(shù)列,這三項(xiàng)依次是18,30,50.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件.
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