Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，利用成等比數(shù)列的定義可得，

a

2 11

=a1a13，再利用等差數(shù)列的通項公式可得(a1+10d)2=a1(a1+12d)，化為d（2a₁+25d）=0，解出d即可得到通項公式a_n；
（II）由（I）可得a_3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此數(shù)列是以25為首項，-6為公差的等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
由題意a₁，a₁₁，a₁₃成等比數(shù)列，∴

a

2 11

=a1a13，
∴(a1+10d)2=a1(a1+12d)，化為d（2a₁+25d）=0，
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=-2．
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27．
（II）由（I）可得a_3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此數(shù)列是以25為首項，-6為公差的等差數(shù)列．
∴S_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=

n(a1+a3n-2)

2

=

n(25-6n+31)

2

=-3n²+28n．

點評：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式是解題的關(guān)鍵．