Question

13．為了傳承經典，促進課外閱讀，某校從高中年級和初中年級各隨機抽取100名同學進行有關“四大名著”常識了解的競賽．圖1和圖2分別是高中年級參加競賽的學生成績按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）分組，得到頻率分布直方圖．

（1）若初中年級成績在[70，80）之間的學生恰有5名女同學，現從成績在該組的學生任選兩名同學，求其中至少有一名女同學的概率
（2）完成下列2×2列表，并回答是否有99%的把握認為“兩個學段的學生對“四大名著”的了解有差異”？

	成績小于60分的人數	成績不小于60分人數	合計
初中年級
高中年級
合計

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）初中年級成績在[70，80）之間的學生共有0.015×10×40=6人，恰有4名女同學，2名男同學，利用對立事件的概率公式，即可求其中至少有1名男同學的概率；
（2）根據列聯表中的數據，計算K²的值，即可得到結論．

解答 解：（1）初中年級成績在[70，80）之間的學生共有0.015×10×100=15人，恰有5名女同學，10名男同學，
現從成績在該組的初中年級的學生任選2名同學，有C₁₅²=105種情況，全是男同學有C₁₀²=45種情況
∴其中至少有1名女同學的概率為1-$\frac{45}{105}$=$\frac{4}{7}$；
（2）2×2列聯表

	成績小于60分的人數	成績不小于60分人數	合計
初中年級	50	50	100
高中年級	70	30	100
合計	120	80	200

K²=$\frac{200×（50×30-70×50）^{2}}{120×80×100×100}$=$\frac{25}{3}$
由$\frac{25}{3}$＞6.635，知只有99%的把握認為“兩個學段的學生對”四大名著”的了解有差異”，沒有99%的把握認為“兩個學段的學生對‘四大名著’的了解有差異”．

點評 本題考查獨立性檢驗，考查概率的計算，考查學生的閱讀與計算能力，屬于基礎題．