Question

4．設(shè)P是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的動點，則P到直線$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距離的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{21}-12}}{5}$
• B． $\frac{{12-\sqrt{21}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{21}-12}}{5}$
• D． $\frac{{12-2\sqrt{21}}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），0≤θ＜2π，運用點到直線的距離公式和輔助角公式，及正弦函數(shù)的值域加上即可得到所求最小值．

解答 解：P是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的動點，
可設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），0≤θ＜2π，
P到直線$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1即3x+4y-12=0的距離為d=$\frac{|6cosθ+4\sqrt{3}sinθ-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$|$\sqrt{36+48}sin（θ+α）$-12|
=$\frac{1}{5}$|2$\sqrt{21}$sin（θ+α）-12|，α為輔助角．
當(dāng)sin（θ+α）=1時，P到直線$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距離的最小值為$\frac{12-2\sqrt{21}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查點到直線的距離的最值的求法，注意運用橢圓的參數(shù)方程和輔助角公式，考查正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．