Question

若函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)x₁，x₂滿足f（x₁）+f（x₂）≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

a≥2

．

Answer 1

分析：把x₁，x₂代入到f（x）中求出函數(shù)值代入不等式f（x₁）+f（x₂）≤0中，在利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)得到關(guān)于a的不等式，求出解集即可．

解答：解：因f（x₁）+f（x₂）≤0，故得不等式x₁³+x₂³-（1+a）（x₁²+x₂²）+a（x₁+x₂）≤0．
即（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-（1+a）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）≤0．
由于f′（x）=3x²-2（1+a）x+a．
令f′（x）=0得方程3x²-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a²-a+1）≥4a＞0，
故

x1+x2= 2 3 (1+a) x1x2= a 3

代入前面不等式，
兩邊除以（1+a），并化簡(jiǎn)得
2a²-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤

1

2

（舍去）
因此，當(dāng)a≥2時(shí)，不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生求導(dǎo)數(shù)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，靈活運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題的能力．