Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)拋物線上的任意一點(diǎn)作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò).若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，則說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)

【解析】

（1）利用拋物線的定義，結(jié)合，求得，由此求得拋物線的方程.

（2）首先假設(shè)存在一個(gè)，使以為直徑的圓恒過(guò).設(shè)出切線的方程，利用導(dǎo)數(shù)建立切線斜率的等量關(guān)系式，結(jié)合，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此證得存在點(diǎn)符合題意.

（1）由拋物線定義知，又，

∴，解得，

∴拋物線的方程為.

（2）存在一個(gè)，使以為直徑的圓恒過(guò).

由（1）得拋物線為，準(zhǔn)線方程為.

依題意切線斜率一定存在且不為0，設(shè)切線方程為.

設(shè)定點(diǎn)為，，，

∵，∴切線斜率，又，

∵，∴，解得.

以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)等價(jià)于.

∴，.

∴恒成立.

∴且，解得，存在一個(gè)定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò).