Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， n∈N* ， 已知a1=1，a2= ，a3= ，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 ．
（1）求a4的值．
（2）證明：{an﹣1﹣ an}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，a2= ，a3= ，

∴S1=1，S2= ，S3= ，

又∵4S4+5S2=8S3+S1，

∴S4= （8S3+S1﹣5S2）= （8 +1﹣5 ）= ，

∴a4=S4﹣S3= ﹣ =

（2）證明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1，

∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn，

∴4an+2+an=4an+1，

整理得：an﹣2an+1=2an+1﹣4an+2，

∴an+1﹣2an+2= （an﹣2an+1），

即an+2﹣ an+1= （an+1﹣ an），

又∵ = ﹣ =1，

∴數(shù)列{an+1﹣ an}是以1為首項(xiàng)、 為公比的等比數(shù)列

（3）解：由（2）可知an+1﹣ an= ，

∴an+1= an+ ，

∴2n+1an+1=2nan+4，

又∵2a1=2，

∴數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，

∴2nan=2+4（n﹣1）=4n﹣2，

∴an= =

【解析】（1）通過4S4+5S2=8S3+S1 ， 直接代入計(jì)算即可；（2）通過對4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1變形可知4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn ， 即4an+2+an=4an+1 ， 整理得an+1﹣2an+2= （an﹣2an+1），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（3）通過（2）可知an+1﹣ an= ，兩邊同時(shí)乘以2n+1可知2n+1an+1=2nan+4，進(jìn)而數(shù)列{2nan}是以2為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．