Question

已知函數(shù)，（）
（1）若函數(shù)存在極值點，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由

Answer 1

（1）；（2）當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，滿足條件.

解析試題分析：（1）求，要函數(shù)由極值，也就是有實數(shù)解，由于是關(guān)于的二次函數(shù)，則由便求得的取值范圍；（2）求，需要對實數(shù)進行分類討論，或，在這兩種情況下分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意分類討論問題，應弄清對哪個字母分類討論，分類應不重不漏；（3）是探索性問題，要說明存在是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
且斜邊中點在y軸上，需要證明，該方程有解，要對進行分類討論分別說明.
試題解析：（1），若存在極值點，
則有兩個不相等實數(shù)根.
所以，解得 .
（2），
當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
當且時，
假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上.
則且.
不妨設(shè).故，則.
，該方程有解，
當時，，代入方程得，
即，而此方程無實數(shù)解；
當時，則；
當時，，代入方程得，即，
設(shè)，則在上恒成立.
∴在上單調(diào)遞增，從而，則值域為.
∴當時，方程有解，即方程有解.
綜上所述，對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上.
考點：導數(shù)的計算，函數(shù)的極值，構(gòu)造法.