Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）﹒

試題分析：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閳A心到拋物線準(zhǔn)線的距離為，所以有，解得，從而求出拋物線方程為.
（2）由題意可知，直線軸，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)直線與的傾斜角互補(bǔ)，即，又設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，所以有，即，整理得，所以.
（3）由題意可設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032629115371.png" style="vertical-align:middle;" />、是圓的切線，所以、，因此，，由點(diǎn)斜式可求出直線、的直線方程分別為、，又點(diǎn)在拋物線上，有，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入直線、的方程得、，可整理為、，從而可求得直線的方程為，令，得直線在上的截距為，考慮到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.
試題解析：（1）∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，
∴，即拋物線的方程為．                 2分
（2）法一：∵當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，
設(shè)，，
∴，  ∴ ，
∴．   ．         7分
法二：∵當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，可得，，∴直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
∵  ∴，．
同理可得，，∴．         7分
（3）法一：設(shè)，∵，∴，
可得，直線的方程為，
同理，直線的方程為，
∴，，
∴直線的方程為，
令，可得，
∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，  ∴．      14分
法二：設(shè)點(diǎn)，，．
以為圓心，為半徑的圓方程為，①
⊙方程：．②
①-②得：
直線的方程為．
當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距，
∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，  ∴．          14分