Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n-1（n=1，2，3，…），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

2n

an• an+1

，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n＜

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，a_n+1=2a_n-1，兩邊同減1，即可證得數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出b_n=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ+1，對(duì)c_n=

2n

an•an+1

裂項(xiàng)，從而可求T_n的值，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1）
∵b_n=a_n-1，∴b_n+1=2b_n，
∵a₁=3，∴b₁=a₁-1=2≠0，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1
∴c_n=

2n

an•an+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴T_n=（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．