Question

9．P是雙曲線C：$\frac{x^2}{2}-{y^2}$=1右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)₁是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則|PF₁|+|PQ|的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $2+\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• C． $4+\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $2\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 依題意，當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、F₂三點(diǎn)共線，且P在F₂，Q之間時(shí)，|PF₂|+|PQ|最小，且最小值為F₂到l的距離，從而可求得|PF₁|+|PQ|的最小值．

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)分別為F₂，
∵∴|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=|PF₂|+2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|+|PQ|=|PF₂|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，
當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、F₂三點(diǎn)共線，且P在F₂，Q之間時(shí)，|PF₂|+|PQ|最小，且最小值為F₂到l的距離，
可得l的方程為y=$±\frac{1}{\sqrt{2}}$x，F(xiàn)₂（$\sqrt{3}，0$），F(xiàn)₂到l的距離d=1
∴|PQ|+|PF₁|的最小值為2$\sqrt{2}$+1．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用雙曲線的定義將|PF₁|轉(zhuǎn)化為|PF₂|+2$\sqrt{2}$是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．