Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，不等式f（2x）≤4的解集為{x|0≤x≤4}．
（1）求a的值
（2）若不等式f（x）+f（x+m）＜2的解集是空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（2x）≤4求出不等式的解集，即可求出a的值，
（2）不等式轉(zhuǎn)化為|x-4|+|x+m-4|≥2在R上恒成立，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，解得即可．

解答 解：（1）f（2x）≤4?|2x-a|≤4?-4≤2x-a≤4?$\left\{\begin{array}{l}2x-a≥-4\\ 2x-a≤4\end{array}\right.$?$\frac{a-4}{2}≤x≤\frac{a+4}{2}$，
根據(jù)題意：$\left\{\begin{array}{l}a-4=0\\ a+4=8\end{array}\right.$．
∴a=4；
（2）f（x）+f（x+m）＜2的解集為空集，
∴|x-4|+|x+m-4|＜2的解集為空集，
∴|x-4|+|x+m-4|≥2在R上恒成立，
又|x-4|+|x+m-4|≥|（x-4）-（x+m-4）|=|m|
∴|m|≥2，
∴m≥2或m≤-2

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查含有絕對(duì)值號(hào)的不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．