Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=2，且a_n+2=（1+cosnπ）（a_n-1）+2（n∈N^*），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S_2n=2ⁿ⁺¹+2n-2．

Answer 1

分析 根據(jù)條件討論n的奇偶性，分別化簡(jiǎn)遞推公式并判斷出數(shù)列的特征，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式a_n，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和S_2n．

解答 解：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，cosnπ=-1，
由a_n+2=（1+cosnπ）（a_n-1）+2（n∈N^*）得，a_n+2=2，
所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是各項(xiàng)為2的常數(shù)列，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cosnπ=1，同理可得a_n+2=2a_n，
所以a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首項(xiàng)為a₂=2，公比為2的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n是奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n是偶數(shù)}\end{array}\right.$，
所以S_2n=（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…a_2n）
=2n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹+2n-2，
故答案為：2ⁿ⁺¹+2n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推公式的化簡(jiǎn)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列求和的方法：分組求和法，注意要注意對(duì)n進(jìn)行分類討論．